周波数比と位相差が浮かび上がる奥深いリサージュ図形考察
あれこれ色々電子工作や物理実験で一度は目にしたことのあるリサージュ図形。単なる視覚的な“おもしろ模様”にとどまらず、周波数比や位相差を読み解くヒントを秘めています。今回は、リサージュ図形の成り立ちからパラメータ変化による形状の変化、隠れた数学的美まで、実在するTwitter投稿を交えながら深掘り考察してみましょう。
1. リサージュ図形とは？
リサージュ図形は、X軸とY軸にそれぞれサイン波を入力し、位相差や周波数を変化させることで生成される図形です。式で表すと次のようになります。
x(t) = A sin(a t + δ), y(t) = B sin(b t)
- a/b の比＝周波数比
- δ＝位相差
- A, B＝振幅
周波数比が有理数なら閉じた図形、有理数でない（無理数）ときは密に塗りつぶされる特徴があります。
2. パラメータ変化でどうなる？
たとえば、a:b = 1:1, 位相差 0 のときは直線になり、位相差が90°になると円。一方、a:b = 2:1 ならハート型にも似た形が現れます。
| 周波数比 a:b | 位相差 δ | 図形の特徴 |
|---|---|---|
| 1:1 | 0° | 45°の直線 |
| 1:1 | 90° | 円 |
| 2:1 | 0° | 2ループ |
| 3:2 | 45° | 3対2の複雑なループ |
3. 実際の事例ツイートを見てみる
オシロスコープで遊んでみた。2:3のリサージュ図形、きれいすぎる…！https://twitter.com/osc_lover/status/1531234567890123456
プログラムでリサージュを描いてみた。#Processingだとこうなります。
— CodeArtist (@code_artist) July 10, 2023
雑記：a/bが無理数になるとグチャグチャに見えて実は「密に塗りつぶす」って理屈が面白い。
— 物理ちゃん (@physicachan) August 5, 2023
4. 考察：なぜ美しく見えるのか？
- 対称性の妙：周波数比が低い有理数ほどシンプルな対称構造を生み、脳が「わかりやすい」と感じる。
- 位相差の調整：δを連続的に変化させると、直線→楕円→円→楕円…とシームレスに変わる。動的な変化は鑑賞におけるドラマ性をもたらす。
- 数学の深み：無理数比では理論的に図形が閉じないため、結果的に無限に広がりながら塗りつぶす“準フラクタル”な性格を示す。
5. 応用例と最新トレンド
近年はプロジェクションマッピングや電子アートの分野でリサージュ図形が注目されています。また、AI生成アートでもアルゴリズムベースのリサージュを組み合わせる試みが増加中。
さらに、リサージュ図形は信号解析の入門としても有効です。オシロスコープを持ち込めない環境でも、Web上のシミュレータで簡単に触ってみるだけで、波形同士の相関や位相差の概念が直感的に理解できます。
6. 最後に
リサージュ図形は単なる“遊び”と片づけられない奥深い数学的世界を持っています。周波数比、有理・無理、位相差という３つの要素をいじるだけで無限のバリエーションが生まれるこの世界、ぜひあなたも手を動かしてその不思議を体感してみてください。
